La axiomática

LOS MODELOS. EL ISOMORFISMO

A una teoría en el estadio preaxiomático se le puede dar el nombre de concreta, material o intuitiva.20 Esto significa que aún mantiene contacto con los conocimientos que organiza y que su contenido conserva su sentido y su verdad empíricos. Es tal el caso de la geometría ordinaria, como se enseña comúnmente en las escuelas. Es siempre posible, como se ha visto, reconstruir una determinada teoría deductiva concreta sobre distintas bases. De este modo, los diversos autores de tratados de geometría elemental, al mismo tiempo que ofrecen desde hace siglos el mismo cuerpo de doctrina, han ido más o menos modificando el ordenamiento euclidiano. Son secundarias hasta donde el contenido de la teoría es considerado esencial, pero estas diferencias formales toman una importancia creciente a medida que se descuida su contenido. Por eso es posible decir que su interés sólo se manifiesta en pleno con las axiomáticas, teorías abstractas y formales. En tal sentido se opondrá, a una teoría concreta determinada, la pluralidad de las axiomáticas que le corresponden. Por ejemplo, la axiomática de Hilbert es sólo una entre todas a las que se presta la geometría euclidiana. Consideremos por ahora sólo una de las axiomáticas múltiples de una teoría concreta. Como el sentido de sus términos, y en consecuencia, de todas sus proposiciones no está fijado sino equívocamente por los postulados, se podrá en todo caso, si se descubren varios sistemas de valores que satisfagan por igual el conjunto de las relaciones que enuncian los postulados, dar interpretaciones concretas distintas, o bien, escoger entre varias realizaciones. Las realizaciones concretas de una axiomática se denominan sus modelos.21 Se da como entendida de por sí que la teoría concreta original que proporcionó los puntos de referencia del esquema lógico trazado por la axiomática será uno de los modlos, pero no el único. Una axiomática se presta, como ya se comprobó en ocasión de la axiomática peaniana, a realizaciones diferentes y éstas pueden ser tomadas de dominios de pensamiento muy alejados del dominio inicial. Se da entonces una pluralidad de interpretaciones y modelos concretos que oponemos a una sola y misma axiomática.
En el caso en que los modelos no se distinguen de esta forma entre ellos sino por la diversidad de las interpretaciones concreas que pueda darse a sus términos y coinciden de manera precisa si se hace abstracción de éstas, de modo que se instalen en el plano de la axiomática formal, se dice entonces que son isomorfos, pues tienen la misma estructura lógica. El método axiomático tiene precisamente el interés de revelar los isomorfismos entre teorías concretas que son aparentemente heterogéneas, para reestablecerlas en la unidad de un sistema abstracto. De este modo, cualquiera de estas teorías podrá servir de modelo a las otras, si ampliamos un poco el uso de esta palabra, así como a la teoría abstracta correspondiente.22 Existen entonces tres niveles que deben distinguirse y sobre los que es posible diversificar una teoría deductiva. Regresemos, como siempre, al ejemplo de la geometría euclidiana. En primer lugar, si se modifica en forma diversa por lo menos uno de sus postulados, se obtendrán otras teorías (geometría lobatchevskiana, noarquimediana, etc.), que serán sus vecinas o parientes (emparentadas). Es en este sentido que se habla de la pluralidad de las geometrías. Escojamos cualquiera de estas geometrías. Como hay formas muy diversas de efectuar su reconstrucción lógica, se diversificará entonces en varias axiomáticas que serán equivalentes entre ellas. Si finalmente escogemos una de estas axiomáticas, por lo general se le podrá encontrar distintas interpretaciones. Surge de aquí una diversificación nueva de acuerdo con modelos que serán isomorfos. Se superpone así a la diversidad de geometrías la de axiomáticas de una misma geometría y, a ésta, la de modelos de una misma axiomática. Y la palabra teoría se ajusta por igual a la presentación axiomática o a sus interpretaciones concretas. Habrá entonces que evitar equivocarse y confundir entre el caso de las teorías emparentadas, las equivalentes y las isomorfas.

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