LOS LÍMITES DEL MÉTODO AXIOMÁTICO
Las ventajas que ofrece este método no deben, sin embargo, disimular sus límites. En primer lugar no se debe olvidar que sólo representa una de las fases de la ciencia y que incluso el lógico y el matemático no se desinteresan de ninguna manera de la verdad material de sus proposiciones. El aritmético bien puede pretender que la descuida, pero sin embargo no deja de acoger, aparte de situarlos en un nivel inferior, muchos “teoremas empíricos”, que en realidad son verdaderas leyes inductivas. Pero en el lugar preciso en que se procede axiomáticamente, no sería posible llevar adelante el método hacia donde apunta. Este se propone perseguir a la intuición para sustituirla no ya por el razonamiento sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. En realidad el formalismo no es capaz de funcionar sin alimentarse, en éste u otro lugar, de la intuición. Y, en primer lugar, de la intuición concreta que lo sostiene. Sólo ocurre en los libros que una axiomática comienza con los axiomas y, en el espíritu del axiomático, ahí termina, pues presupone la deducción material a la que da forma, y ésta, a su vez, ha requerido un largo trabajo inductivo previo para poder reunir los materiales a los que da organización. Sobre estas bases, el trabajo verdadero del axiomático es descubrir los axiomas y, de hecho, no deducir las consecuencias de principios dados, sino por el contrario, frente a cierto conjunto de proposiciones, descubrir un sistema mínimo de principios de los cuales se puedan deducir. Al análisis inductivo que, de los hechos se remonta de las leyes, sucede el análisis axiomático que, prosiguiendo la obra de sistematización deductiva, se remonta de las leyes a los axiomas. Una vez que éstos han sido traducidos a símbolos, con sus reglas de funcionamiento, el formalista podrá olvidar las significaciones intuitivas iniciales.
Éstas no han requerido menos el diseño de su construcción y solas, incluso ahora, hacen comprender las líneas maestras y los contornos y aseguran su unidad: unidad orgánica y no mera yuxtaposición accidental de axiomas. El defecto de una presentación axiomática abrupta, en el momento en que afecta a espíritus que no se encuentran preparados, se encuentra precisamente en esta impresión irresistible de arbitrariedad y vacuidad. La axiomática prácticamente no presenta interés a quien previamente no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos queordena cuando los esquematiza. No es sólo por juego que se construye una axiomática, y los instrumentos intelectuales se encuentran hechos para ser utilizados. Incluso el teórico puro, que deja a los demás el uso de los instrumentos, no se encuentra menos constreñido a tomar en consideración un modelo: el modelo simbólico mismo. Se pone otro límite al uso del método axiomático: el teorema paradójico de Skolem. A todo sistema que excede un nivel muy elemental y que comporta un modelo en un dominio cualquiera, es posible asignarle también un modelo en el dominio de los números naturales. Ahora bien, el conjunto de los números naturales constituye un infinito enumerable, que es la potencia más débil de los conjuntos infinitos. De este teorema resulta que el tratamiento axiomático desvanece de cierta forma todas las potencias superiores. Por ejemplo, el continuo no puede ser concebido en su especificidad estructural, pues toda axiomática que se dé conllevará un modelo enumerable. Los resultados obtenidos posteriormente por Von Neumann muestran que la potencia de un conjunto es relativa a la axiomática emleada, y van en el mismo sentido. Constituía una ventaja del método axiomático reunir, por la identidad de su estructura, una pluralidad de sistemas isomorfos. Si ahora los sistemas que reúne pueden no ser isomorfos es porque deja escapar ciertas particularidades de las estructuras y que32 ya no basta para diferenciarlas. Será necesario recurrir a la intuición para distinguirlas. Si la intuición concreta la limita por la parte inferior, la axiomática permanece del mismo modo en contacto, por la parte superior, con una intuición intelectual que ella indudablemente puede repeler cada vez más lejos, pero en modo alguno suprimir. La intuición se refugia de la teoría en la metateoría, y luego que ésta queda reducida a un sistema formal, en la metametateoría y así en forma interminable. Siempre el manejo del simbolismo exige un sobrevuelo del espíritu. Los teoremas de Gödel han puesto de manifiesto a los propios formalistas, pues en este caso desempeñan un papel comparable al del principio de incertidumbre formulado por Heisenberg en el campo de la ísica cuántica. Del mismo modo que la intervención de la actividad experimental en el contenido de la observación no puede agotarse en forma indefinida, esto ocurre en la misma forma con la intervención de la actividad mental en las axiomáticas simbolizadas y formalizadas. Ya sea que se alegre o se preocupe uno por esto resulta imposible eliminar el sujeto. De allí proviene la reacción del intuicionismo: “No podemos aceptar que el camino de la ciencia conduce a la eliminación del espíritu.”33 Incluso con sistemas lo suficientemente rudimentarios como para que no funcionen en ellos aun las interdicciones de Gödel, resulta claro que la percepción de una correspondencia analógica entre la interpretación objetiva y la interpretación sintáctica de las mismas fórmulas necesita, del mismo modo que la inteligencia, de un retruécano, de una iniciativa espiritual y que, por lo general, una cierta constelación de signos, negro sobre blanco, no alcanzará a ser, por decir algo, la demostración de una nocontradicción, sino exclusivamente para un espíritu que sepa leerla como tal. El beneficio que provee el método axiomático no es el de excluir la intuición, sino contenerla y retrocederla hacia el terreno estrecho donde resulta irremplazable y posee la ventaja de sustituir el órganopor el instrumento, a continuación el instrumento por la máquina para, finalmente, dotar a la máquina de aparatos de autorregulación. Por más perfeccionada que se la pueda imaginar, sólo su funcionamiento —por no mencionar su construcción o su empleo— demandará siempre del control humano ni nunca podrá evitar intervenciones procedentes del exterior, aunque fuesen en grado cada vez menor, cada vez más mínimas y espaciadas. Del mismo modo que una máquina, un mecanismo intelectual no resultaría seguro del todo si se tuviera la certeza total de que no tiene ningún defecto, que no está expuesto a sufrir una avería o a enloquecer, que en modo alguno surgirá una ambigüedad del tipo que sea acerca del modo de aplicar las reglas, o bien, que nunca se nos arroje a una alternativa indefinida de afirmaciones y negaciones que recuerden las antinomias cantorianas. Resulta sin duda más justo solicitar a la intuición y al formalismo que se controlen mutuamente, garantizando así el formalismo contra los errores de una intuición intemperante, aunque con la condición de que él mismo quede sometido a la vigilancia de una intuición aminorada. Por lo demás, nadie ha impugnado en forma seria el papel que mantiene la intuición en el descubrimiento. Cualquiera que sea la fecundidad de un método, su oficio es, sobre todo, de consolidación y, si se quiere, de prolongación, pero sobre un terreno previamente fijado. El método pone en orden lo adquirido y, al hacerlo, llena las lagunas y explota las aperturas, mas no inicia nada que sea esencialmente nuevo. Los descubrimientos revolucionarios son obra del genio que logra trastornar los métodos. Descubrir, probar, nada le resulta menos indispensable a la ciencia que requiere del espíritu de la aventura como del espíritu del rigor. Vistos en esta forma, incluso la intuición y el formalismo se complementan de acuerdo con la diversidad de los espíritus y los cambios de la histori. Un autor al que no se le puede acusar de tibieza para con la axiomática expresamente se encuentra de acuerdo con lo anterior. Durante los periodos de expansión, cuando surgen ideas nuevas, resulta con frecuencia muy difícil delimitar con precisión las condiciones de su empleo y, por decirlo de una vez, resulta imposible hacerlo en forma razonable sino hasta que adquiere una larga práctica de tales ideas o nociones, lo que requiere un periodo de desmalezamiento más o menos amplio en el que dominan la incertidumbre y la controversia. Pasada ya la edad heroica de los exploradores, la siguiente generación puede entonces dedicarse a codificar su obra, eliminar lo superfluo y sentar sus bases. En una palabra, volver a poner en orden el edificio. En este momento reina nuevamente, sin división, el método axiomático, hasta la revolución siguiente que aportará alguna idea nueva.”
