LOS AXIOMAS
Al lado de los postulados se colocan, por lo general, los axiomas para completar los principios de la geometría. Son el otro nombre que se da a las “nociones comunes” y a las definiciones de Euclides. ¿Desde el punto de vista de la lógica tal ordenamiento queda justificado? La diferencia entre axioma y postulado ha sido, con frecuencia, poco clara. Comúnmente ambas expresiones fueron, y siguen siendo, tomadas indiferentemente una por otra. Prueba de esto es el mismo nombre de la axiomática que, sin duda, podría llamarse, con mayor precisión, postulática. Los editores de los libros de Euclides encabezan los Elementos con aquellas propiedades que el griego postuló a lo largo de su demostraciones, y las han colocado tanto a continuación de las “peticiones” como después de las “nociones comunes”. En la medida en que se diferencia del postulado, el axioma comprende en primer lugar la idea de una prueba intelectual. En tanto, el postulado constituye siempre una proposición sintética cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, queda, de todas formas, como algo concebible; el axioma sería una proposición analítica que resultaría absurdo negar. Además, su función sería exclusivamente la de un principio puramente formal que regularía el paso del razonamiento aunque sin ofrecerle, al contrario de los demás principios, sustento alguno. Estas dos ideas se conjuntan en la tesis, propalada por mucho tiempo —aunque nunca justificada mediante un análisis exacto—, que convertía a los axiomas en meras especificaciones de las leyes lógicas que se aplican a la cantidad. Ahora bien, la idea de evidencia despierta cada vez más la desconfianza del matemático. El sentimiento de evidencia resulta engañoso y su dominio varía de acuerdo con el temperamento intelectual de cada quien. Si uno intentara buscar apoyo en él, los espíritus inclinados hacia lo intuitivo solicitarían, indudablemente, que más de una demostración fuera suprimida; que, para ellos, resultara menos evidente el teorema que justifica tal demostración. Aquellos que fueran más exigentes se negarían a reconocer como incondicionalmente necesario tal teorema. Resulta cierto que algunos axiomas euclidianos han experimentado una cierta degradación: uno de ellos el que enuncia que el todo es mayor que la parte y, que en cierto sentido, no es válido5 sino para los conjuntos que son considerados finitos, y que podría servir, como ha sido sugerido, para definir tales conjuntos. De este modo, no se trata ya de una proposición analítica sino de una convención destinada a delimitar un campo determinado y a la que no esá sujeta el espíritu. Por otra parte, el papel que se ha hecho desempeñar a la evidencia por un tiempo bastante largo se encuentra ligado al ideal de las matemáticas categóricas, dentro de las cuales aquello que no está demostrado debe, de algún modo, demostrar sus títulos para ser considerado verdadero. Esto queda afinado dentro de una idea hipotéticodeductiva cuyo centro es la coherencia lógica más que la verdad absoluta. Al colocar de este modo en primer plano la idea de sistema, se hace necesario reducir a un número menor las proposiciones independientes. Pero si uno se empeña de este modo en la demostración de los sistemas, esto se hace con un espíritu muy distinto al que inspiró a Leibniz cuando se formuló la misma exigencia, puesto que no se trata ya de reducirlos a proposiciones idénticas con el fin de hacer resplandecer su evidencia, sino meramente de reducir la base del sistema al mínimo haciendo aparecer los principios de los cuales se derivarán los sistemas en forma intuitiva y menos evidente que aquéllos. Estas últimas consideraciones tienen valor, ciertamente, en lo que se refiere a la verdad material de las proposiciones y pierden fuerza al ser aplicadas a los principios formales o reguladores. La teoría clásica carece aún de claridad sobre este punto. Coloca los axiomas en situación intermedia entre las proposiciones lógicas y las geométricas. Las primeras tienen carácter regulador y se refieren a la cantidad al igual que las segundas. Pero, o bien pueden ser obtenidas mediante la aplicación de los principios de la lógica a las ideas iniciales de las matemáticas y, en ese caso hacerlo eliminándolas del número de las proposiciones primeras de la geometría y contarlas como meras proposiciones de lógica aplicada; o bien se rebelan contra esta reducción y su resistencia se hace manifiesta en su carácter de postulados. Conviene, entonces, disociar los sistemas de modo que parte de ellos pase a los postulados y la otra quede fuera de la geometría. No les quedará ya lugar entre los principios de la geometría, al mismo nivel y junto a los postulados.
