LAS FIGURAS
Según Euclides, el postulado de las paralelas invocaba, claramente, a la intuición espacial, si bien aparentemente excepcional. De hecho se le invoca a lo largo de todas las demostraciones, por lo que Poincaré podía decir con toda justicia que en esa construcción enorme, en la que los antiguos no encontraban falla alguna de carácter lógico, todas sus partes se deben a la intuición. Y, en cierto sentido, nada era más manifiesto, como lo atestiguan las mismas figuras.
Pero en el texto no queda esto expresado tan claramente, sino que hace creer que las figuras no se encuentran allí como meros auxiliares del razonamiento, y que, de cierto modo, duplican la demostración lógica recurriendo a una ilustración apreciable sin que le sean indispensables. No hay nada de eso. Elimínese la figura, trazada o imaginada, y la demostración cae por tierra. No vayamos más allá de la primera demostración de Euclides que constituye un problema: construir un triángulo equilátero sobre el segmento de la recta AB. Trace dos círculos cuyo radio es AB. El centro de uno de ellos es A y el del otro B. El punto de intersección M, cuya distancia de AB es el radio AB, constituirá el tercer vértice que se busca. Pero para quien no ve o no se representa mentalmente tal figura la demostración no es completa: ¿cómo puede uno saber si los dos círculos se cortan? La existencia del punto M ha sido mostrada, no demostrada. Mucho se ha discutido acerca de si tomar en cuenta las figuras resultaba esencial a la especulación geométrica. Si se toman como modelo las demostraciones geométricas clásicas resulta entonces cierto que la intuición —la contemplación y la propia construcción— debe intervenir. Esta era, como es sabido, una de las tesis sobre la que Kant construyó la base de su Crítica, en la que decía, “dése a un filósofo la idea del triángulo, considerará las ideas más elementales acerca de la línea recta, del ángulo, del número 3, y jamás descubrirá con lo anterior que la suma de sus ángulos sea igual a dos ángulos rectos”. Formúlese ahora el problema a un geómetra: formará un triángulo, prolongará uno de sus lados, etc., y obtendrá el resultado mediante un encadenamiento de razonamientos guiado continuamente por la intuición. Tesis semejantes han sido retomadas por Cournot, Goblot y, más refinadamente, por los matemáticos intuicionistas modernos. No obstante, es posible llegar a otra conclusión: si se considera que el llamado a la intuición constituye una falla dentro de una construcción que ha sido presentada como lógia, uno se propondrá corregir los métodos clásicos de demostración de modo que se sustituya la intuición por su equivalente inteletual, lo cual por lo demás le resulta necesario dentro de las nuevas geometrías en las que los espacios no se dejan ya representar pr la intuición. Cuando se hace necesario recurrir a las figuras, esto se hace claro porque resulta evidente que el ojo dice cosas que el texto, que se dirige sólo a la inteligencia, sobreentiende. Es tal la fuerza de la intuición que no se hace sentir su ausencia. Por ejemplo, no hace ni un siglo que se hizo notar que en parte alguna Euclides enunció la proposición siguiente y que, sin embargo, no deja de utilizar: si una recta tiene dos puntos dentro de un plano, éste la contiene en su totalidad. En las exposiciones de la geometría clásica, un análisis atento logra descubrir una gran cantidad de proposiciones implícitas. En primer lugar las de existencia, la posibilidad de elaborarla dentro de la intuición demuestra, seguramente, que la idea de la que se trata no incluye una contradicción. Pero se trata de una prueba de hecho y no de una justificación racional. A continuación, las proposiciones referidas a la congruencia, y que se encuentran implicadas en operaciones diversas a las que el geómetra se entrega mentalmente, como hacer retroceder una figura para hacerla coincidir con su trazo. En los Elementos no se enuncia en forma expresa más que una sola proposición de esta naturaleza y que, por otra parte, se encuentra clasificada entre los axiomas. Mencionemos también las proposiciones en las que se enuncian propiedades topológicas, esto es, las que se refieren al orden y la continuidad, dejando de lado toda consideración a los ángulos y a la métrica.4 Euclides y sus continuadores hasta el siglo XIX silenciaron por lo general tales propiedades empleándolas, no obstante, a cada paso, pues la figura las sugería suficientemente. Queda claro que un método riguroso no puede permitir que la intuición se emplee continuamente como un recurso, sino que demanda que todas las propiedades supuestas se enuncien claramente como proposiciones, aquellas que queden demostradas serán consideradas como teoremas y las restantes aumentarán el número de los postulados.
