La axiomática

La geometría clásica, de acuerdo con la forma que Euclides le dio en sus Elementos, pasó durante mucho tiempo como un modelo imposible de superar, y, al mismo tiempo, de igualar, de la teoría deductiva. Los términos que son propios a la teoría jamás son presentados sin una definición previa, las proposiciones no se citan sin antes haber sido demostradas, con excepción de
un número reducido que sí son enunciadas, en primer lugar, en calidad de principios. En efecto, una demostración no puede remontarse al infinito y debe basarse en algunas proposiciones primeras, pero éstas han sido escogidas de modo tal que no
subsista duda alguna en espíritu de su sano juicio. No importa que todo lo que se afirme sea empíricamente cierto, pues no se apela a la experiencia para justificarlo. El geómetra trabaja recurriendo sólo a la demostración y únicamente fundamenta sus pruebas sobre lo que ya con anterioridad seencuentre establecido en tanto esté de acuerdo con las leyes de la lógica. De
este modo cada teorema guarda una relación necesaria con las proposiciones de las cuales es deducido como una consecuencia,
de modo que, prueba tras prueba va constituyéndose una red estrecha en la que, directa o indirectamente, todas las
proposiciones se encuentran relacionadas entre sí. Así, el conjunto integra un sistema del que no se puede sustraer o cambiar una parte sin comprometer el todo. De este modo, “los griegos razonaron con toda la certeza posible en el campo de las
matemáticas y heredaron al género humano los modelos del ate de la demostración”.1 Mediante ellos la geometría dejó de ser una colección de fórmulas prácticas, o, mejor dicho, de enunciados empíricos, y se transformó en ciencia racional. Viene de
allí ese papel privilegiado que no se le ha dejado de reconocer. Si se obliga a los niños a estudiarla no es con el fin de enseñarles verdades sino con el de disciplinar su espíritu, pues se considera que su práctica ofrece y desarrolla la costumbre de razonar rigurosamente. Como escribió L. Brunsvichg:2 “Euclides, para las innumerables generaciones que se han nutrido de
su sustancia, quizá ha sido menos un profesor de geometría que uno de lógica.” Y la expresión more geometrico ha llegado a
significar more logico.
1 Leibniz, Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano (1704), IV, II, p. 13. 2 Les étapes de la philosophie mathématique,
cap. VI, p. 49.
Por tanto, ha venido pareciendo cada vez más que, si bien la geometría euclidiana había venido siendo por mucho tiempo el
ejemplo más acabado que se pudiera dar de una teoría deductiva ideal, el aparato lógico sobre el cual descansaba no era del
todo irreprochable. Varias de sus fallas fueron apuntadas desde muy temprano, pero no fue sino hasta el siglo XIX que se
midió la distancia existente entre una exposición tradicional y una teoría deductiva ideal. Una de las características que
mejor distinguen a las matemáticas a partir de esta época es, de hecho, el acrecentamiento que se dio súbitamente por
preocuparse del rigor lógico. Estudiada de este modo con un rigor nuevo, la deducción geométrica clásica aparecía como
defectuosa en numerosos puntos. Se hicieron esfuerzos por corregirla y la presentación axiomática de la teoría es resultado
de tales esfuerzos. Originada principalmente como una reflexión sobre la deducción geométrica va desprendiéndose, por lo
demás, precisamente en razón de su carácter lógico y formal, de su contenido geométrico y, de este modo puede practicarse
sobre una teoría deductiva cualquiera. Puede decirse que un sistema axiomático o bien, una teoría axiomática es, en este
contexto, la forma definitiva que en la actualidad toma una teoría deductiva. En modo alguno puede decirse que es el sistema quimérico con el que Pascal soñaba y que estaba destinado a espíritus colocadosmás allá de lo humano, y en el que todos los
términos quedarían definidos y todas las proposiciones demostradas. Sino más bien uno donde todos los términos queden
explicitados, así como las proposiciones que no estén demostradas. Estas últimas quedan consideradas como meras hipótesis con las cuales puede construirse las proposiciones del sistema de acuero con reglas lógicas determinadas en forma perfecta y
expresa. Un método parece afirmativo si las razones que lo impusieron son desconocidas. Y lo mejor para hacer comprensible
la función que desempeña la axiomática es, pues, en primer lugar, exponer inicialmente las fallas que se intenta remediar
(capítulo I). Mas razonablemente se duda que la axiomática haya alcanzado desde un primer momento su perfección. En rigor, las exigencias que la hicieron nacer fueron, en su turno, como exasperadas por su uso y se volcaron sobre ella para empujarla
cada vez más lejos en la ruta con la cual se había comprometido. Sin seguir detalladamente esta transformación histórica en
forma detallada, se hace necesario distinguir al menos dos etapas mayores de su desarrollo: la primera puede situarse a finales del siglo XIX (capítulo II) y la segunda se inicia en los años veinte del siglo XX (capítulo III). Se intentará demostrar los alcances de este método por su uso propiamente científico (capítulo IV) así como por sus implicaciones filosóficas
(capítulo V).

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