LAS DEFINICIONES
Con menor razón es necesario incluir las definiciones entre los primeros principios. Puede encontrarse aquí un error lógico considerable que un momento de reflexión basta para disipar. Queda justificado el recurso de las proposiciones primeras de invocar la imposibilidad de que todo pueda ser demostrado. O las mismas razones que pueden hacerse valer para una demostración tienen el mismo valor para la definición. Un término se define mediante otros términos y éstos, a su vez, mediante otros términos, de modo que para impedir que se produzca una regresión al infinito se hace necesario detenerse en algunos términos aún no definidos, del mismo modo que las demostraciones necesitan apoyarse en algunos términos aún no demostrados. Estos términos irreductibles constituyen, por retomar una proposición de Russell, una especie de alfabeto geométrico. Sirven para deletrear, esto es, entran como elementos para componer las definiciones, mas son indefinibles, y éstos son los que es necesario enunciar al frente de la teoría deductiva y de ninguna manera las definiciones que intervendrán, más tarde, para sustituir con un término nuevo y más simple, una expresión elaborada, en forma directa o por medio de definiciones intermedias, mediante la ayuda de los términos primeros, de la misma forma en que intervienen las demostraciones para justificar proposiciones nuevas con ayuda de las proposiciones prmeras.6 Del mismo modo, las “definiciones” iniciales de Euclides sólo tienen de definiciones la apariencia. Pueden reducirse a meras descripciones empíricas semejantes a las de un diccionario cuyo objeto fuera dirigir el espíritu a la idea de que se trata. Propiamente se trata de designaciones. Es por esto que casi no logran satisfacer
la función que al parecer se les asigna, la de enunciar propiedades fundamentales que se utilizarán con el fin de obtener a partir de ellas todas las demás dentro de ls que figurará el término definido. Euclides hace la definición siguiente de la línea recta: la que descansa igualmente sobre sus dos puntos. Herón la sustituye con la siguiente definición al parecer más clara: el camino más cercano o más corto entre dos puntos. Leibniz hace notar con toda razón que en la mayoría de los teoremas que se apoyan sobre la línea recta no se hace uso de ningua de esas dos propiedades. Así, por una parte, tales definiciones resultan superfluas y, por la otra, ocultan la ausencia de las proposiciones que enuncian las propiedades útiles, como la siguiente, que explicarán posteriormente los editores de Euclides: dos rectas no encierran un espacio. Tal falta de acuerdo entre las propiedades enunciadas en la pseudodefinición y las posteriormente utilizadas con efectividad, integran una falta de lógica que resulta muy grave pues hace nacer la sospecha acerca de la identidad de la noción. ¿Qué puede asegurarnos que la línea recta de la que hablan los teoremas sea la misma que se demandaba presentar a la definición? Las exposiciones clásicas de la geometría, ya se trate de definiciones falsas iniciales o de definiciones verdaderas ulteriores, y dicho esto en forma general, cometen con frecuencia el error de presentar como fórmulas en apariencia simples y en las que se mezclan dos enunciados de naturaeza totalmente distinta, una proposición y una denominación. No cabe duda de que en esta confusión se encuentra el origen de la tesis propagada durante mucho tiempo y según la cual las deiniciones son los principios fecundos de los cuales los teoremas obtienen toda su sustancia. Véase la definición número 15 de Euclides: un círculo es la figura plana terminada por una línea tal que todas las líneas rectas que la unen en un determinado punto interior a la figura son iguales entre s. Esto quiere decir dos cosas: 1) es posible terminar una figura plana por una línea recta tal que, etc., y 2) se denominará círculo a una figura tal. Este último enunciado, para el que sería más propio guardar el nombre de definición, dado que el primero es, de hecho, una aserción, pertenece exclusivamente al lenguaje y, en rigor, no aporta un contenido nuevo a la ciencia de la geometría. Se trata de una decisión o de una convención que acorta el discurso y que por lo tanto puede justificarse por su comodidad aunue no tenga nada que ver con la verdad. No se sigue de aquí que, arbitrariamente, pueda uno afirmar la proposición correspondiente: aquella es verdadera o falsa y, en este caso, origen de verdades o contradicciones posteriores. Así, si se descarta el llamado a la intuición, bastante claro, considerándolo inadecuado, se hace necesario demostrarla como teorema o establecerla como un postulado. La utilidad de esta exigencia lógica se verá mucho mejor si la definición reúne bajo el mismo término un número mayor de propidades heterogéneas, pues de este modo no basta que cada una de ellas sea posible, sino que resulta necesario que, dentro del conjunto, sean integrables. Si uno no confirma su compatibilidad queda expuesto a cometer lo que fue denunciado como “error de definición compleja” de acuerdo con Saccheri, como si se intentara definir un poliedro regular cuyas caras fueran hexágonos.
