LAS DEFINICIONES POR POSTULADOS
El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuenciasque implican. Se sabe que en forma alguna resulta necesario que las proposiciones sean verdaderas y que sean conocidas como tales para que sea posible razonar sobre ellas correctamente; la validez de un razonamiento es independiente de la verdad de su contenido. La condición de los términos primeros es un tanto más difícil porque, si es posible hacer abstracción total de la verdad de las proposiciones sobre las que se trabaja, ¿es posible también hacer abstracción total del sentido de los términos? ¿Cómo afirmar de ellos algo así aun a título hipotético si para nosotros están totalmente despojados de sentido? Y, ¿cómo llegar a un sentido si, por un lado, no podemos definirlos y si, por el otro, nos negamos a tomar en cuenta su sentido intuitivo previo? Esto porque si no se obliga uno a olvidar su sentido empírico, preaxiomático, se corre el gran riesgo de referirse luego a él, sin saberlo, dentro del razonamiento y, así, introducir subrepticiamente elementos implícitos más o menos vagos y, sin duda, variables con cada uno. Sólo nos queda una respuesta: el sentido que tengan lo fijará su uso en los postulados que enuncian qué clase de relación lógica tienen entre sí tales nocioes. Este modo de determinar el valor de un término no puede considerarse propiamente una definición pues no establece una equivalecia lógica entre el término nuevo y una expresión conocida. Mas en vista de que sí cumple la función de una definición, esto es, fijar su significado, puede considerársele como una definición implícita. Esta noción se debe a Gergonne. “Si una frase”, observa, “contiene una sola palabra cuyo significado no es desconocido, el enunciado de esa frase bastaría para revelarnos su valor. Así, si se dice a una persona que conoce las voces triángulo y cuadrilátero, pero que nunca ha escuchado la voz diagonal, que cada una de las dos diagonales de un cuadrilátero lo divide en dos triángulos, imaginará de inmediato lo que es una diagonal, pues aquí se trata de la única línea que es capaz de dividir un cuadrilátero en un triángulo. Esta suerte de frases que dan la comprensión de una de las palabras de que se componen recurriendo al significado conocido de as otras podrían ser denominadas definiciones implícitas en oposición a las definicionesordinarias que recibirían el nombre de definiciones explícitas.”16 Este procedimiento no tiene nada de extraño. Es del mismo modo como el niño aprende el sentido de la mayoría de las palabras de su idioma. En el campo de las ciencias físicas resulta común que una ley que ha sido establecida recurriendo a la ayuda de nociones proviionales permita, a cambio, precisar su sentido. El nominalismo científico se basaba en esto para establecer que las leyes son con frecuencia sólo definiciones disfrazadas. La ley de la caída de los cuerpos define la caída libre; la ley de las proporciones definidas caracteriza la combinación en oposición a la mezcla, etc. Las definiciones indirectas pueden compararse a una ecuación con una sola incógnita y cuyo valor lo fija el conjunto de la ecuación. Tal definición resulta unívoca si, en el ejemplo de Gergonne, un solo valor puede satisfacer la ecuación, pero no siempre es así. En especial, si tomamos en cuenta todo un sistema de ecuaciones con varias incógnitas, ocurrirá entonces que varios sistemas de raíces satisfagan las ecuaciones, e incluso una infinidad, como si se estableciera: Y = 2x Z = y+x
En un sentido el sistema queda determinado, pues si se da a una de las incógnitas algún valor arbitrario, los de las otras dos quedan fijados también de inmediato. En vez de individual la determinación es, de alguna forma, global, y asume un carácter más abstracto. En nuestro ejemplo, y siempre será el doble de x y z el triple. Más que los propios términos, son, como puede verse aquí, las relaciones entre los términos las que quedan exactamente determinadas. La caracterización de los términos primeros por las relaciones que enuncian entre ellos los postulados nos pone en una situacin análoga. Un sistema de postulados puede compararse a un sistema de ecuaciones que tenga varias incógnitas; estas incógnitas se corresponden a los términos de la axiomática que se considera. Su valor no es cualquiera, pero no se encuentra determinado implícita, solidaria, equívocamente. Esta forma de establecer el sentido de los términos se considera un caso de definición implícita, la definición por postulados. Se entiende así por qué Poincaré podía afirmar, refiriéndose a los postulados de la geometría euclidiana, que se trata de definiciones disfrazadas. El conjunto de postulados euclidianos constituye, de hecho, una definición implícita del conjunto de las nociones euclidianasPuede verse mejor ahora que los postulados de una teoría no son proposiciones, esto es, que pueden ser verdaderas o falsas, puesto que contienen variables que, relativamente, se encuentran indeterminadas. Únicamente en el momento en que se dé determinado valor a esas variables, o dicho de otro modo, si se les sustituye por constantes, entonces los postulados se convertirán en proposiciones verdaderas o falsas, de acuerdo con la elección que se haya tomado para estas constantes, aunque entonces se sale de la axiomática y se pasa a sus aplicaciones. Con título semejante al de las ecuaciones de un mismo sistema, y no podría haber mejor comparación, los postulados son meras funciones proposicionales, expresión de la que no es necesario dar una definición explícita pues, en suma, se encuentra definida en las frases precedentes. “Las matemáticas son una ciencia en la que no se sabe nunca de qué se habla, ni si es verdadero lo que se dice” Este chiste muy conocido que sugirió a Russell la noción de la matemática axiomatizada tiene valor para toda axiomática en general. Y también es a la axiomática a la que puede aplicarse el siguiente chiste de Poincaré: “Las matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas distintas.”
