LA AXIOMATIZACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
Resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas. La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que ha sido posible decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su forma pura, nació antes que ella y se desarrolló inicialmente en forma independiente. No obstante, el espíritu en que se inspira está tan de acuerdo con la axiomática, y los problemas son a menudo tan cercanos, que ambos órdenes de investigaciones se encuentran en la actualidad relacionados muy íntimamente.27 Precisamente porque no se trata de una invención aislada y localizada, surgida en forma accidental, y porque tiene su apoyo en las mismas tendencias que caracterizan el espíritu matemático europeo, las cuales no han hecho otra cosa que exasperarse desde hace más de 100 años, es la causa por la cual el método axiomático no logra disociarse del todo. Sus rasgos característicos ya son reconocidos fácilmente en el pensamiento matemático clásico: abstracción y generalización crecientes, rechazo a la intuición que se sustituye con la lógica, subordinación del contenido a la estructura, establecimiento de correspondencias unificadoras, etc. No resulta menos cierto por esto que Hilbert, al haber enseñado a los matemáticos a “pensar axiomáticamente” haya modificado profundamente el “estilo matemático”, precisamente donde el método axiomático no se emplea en forma sistemática.28 Pero éste lo es cada vez más. Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples. En Francia, el gran tratado que se publicó bajo el pseudónimo —genérico— de N. Bourbaki, se propuso exponer, mediante este método, todo el conjunto de las matemáticas. Bien se entiende que en el caso de una teoría que se encuentra todavía muy cercana a sus orígenes concretos, como es el caso de las probabilidades, la forma en que la axiomatización desembaraza a la ciencia de los problemas concernientes a la esencia de las entidades de lasque trata, y que son problemas de los cuales hasta hace poco una ciencia racional no pensaba poder liberarse. La parte más difícil de un tratado de las probabilidades era, con frecuencia, la introducción, en la cual el autor se sentía obligado a precisar lo que significaba esta noción mediante la cual pretendía hacer ciencia. Quedaba entonces atrapado en este dilema, o bien nos remitía a la intuición al hablar de cartas, bolas, dados, centavos; o bien daba una definición abstracta en la que podía disimular bien, mas no suprimir, la circularidad: la probabilidad, la relación del número de casos favorables con la de los casos posibles con la condición de que éstos sean igualmente probables. Esta notoria dificultad ilustra sorprendentemente lo que tiene de incómoda y transitoria la fase de la deducción concreta, en la cual se debe y no se puede justificar los principios. Las cosas quedaban claras en la fase empírica e inductiva. Al dejarnos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades podríamos ver, por ejemplo, que no existe razón alguna para que caiga águila o sol. Y después llegamos a establecer las dos leyes, que la experiencia verificará, de las probabilidades totales y de las probabilidades compuestas. Y esto volverá a resultar claro en la fase axiomática, la de la deducción abstracta: ambas leyes quedarán establecidas ahora como principios. Tal purificación conceptual iniciática constituye apenas el beneficio menor que es posible obtener del método. Como se ha visto, el análisis axiomático destaca las estructuras de las teorías particulares que se encuentran ya constituidas, revelando así las analogías formales entre teorías con frecuencia muy alejadas en su contenido y que por esta razón permanecen comosi fueran independientes. Tal es el caso, por ejemplo, de la teoría de la medida y el cálculo de probabilidades. Del mismo modo se descubren estructuras topológicas en conjuntos de elementos que no son ya puntos, sino funciones o, incluso, elementos que son esencialmente discontinuos como los números enteros. La teoría de los espacios abstractos, o topología general, que se debe a M. Fréchet, se convierte así en uno de los frutos más bellos del método axiomático. Las teorías matemáticas son igualmente puestas en correspondencia con teorías extramatemáticas, especialmente con teorías lógicas. El cálculo de probabilidades con ciertas lógicas plurivalentes; la topología con determinados cálculos de lógica modal; teorías antiguas, puestas en claro con una luz nueva procedente del isomorfismo, pueden experimentar desarrollos inesperados. La similitud de funciones lleva también a crear, para una teoría, nociones abstractas que no podían sugerir nada en tanto se encontraban sujetas a su interpretación primigenia. De este modo nacen seres matemáticos nuevos. No sólo se aprovechan del tratamiento axiomático las teorías particulares, sino que toda la fisonomía del conjunto de las matemáticas se encuentra transformada. Debido a parentescos insospechados que se revelan de pronto, se redistribuye el universo matemático. El orden tradicional,29 que repartía las disciplinas matemáticas de acuerdo con los objetos de estudio (aritmética, álgebra, análisis infinitesimal, geometría) parece en la actualidad tan superficial como el de las antiguas clasificaciones zoológicas que agrupaban a los animales de acurdo con sus semejanzas exteriores (acuáticos, terrestres, aéreos) en lugar de basarse en las similitudes de su estructura. Se coordinan ahora teorías que tratan acerca de objetos muy diferentes pero que se encuentran dotados de propiedades formales nálogas. La teoría de los números primos se halla muy cercana a la de las curvas algebraicas, la geometría euclidiana a las ecuaciones integrales simétricas. Y la subordinación se basa sobre la jerarquía de las estructuras, que van de las más simples y generales a las más complejas y más especiales. En primer lugar, algunas estructuras maestras que tienen un carácter más amplio: estructuras algebraicas, estructuras de orden, estructuras topológicas. A continuación estructuras que son ya más complejas y diferenciadas, en las que se combinan orgánicamente dos o más de estas estructuras maestras, como por ejemplo el álgebra topológica. Después sólo teorías más especiales en las cuales los elementos empiezan a cobrar una individualidad mucho más marcada. Es en este nivel donde se reencuentra la mayor parte de las teorías de la matemática clásica. Sólo que en lugar de permanecer independientes y casi aisladas, se ven ahora determinadas por entrecruzamientos diversos de algunas teorías más generales. Por ejemplo, el conjunto de los números reales puede ser considerado como un cuerpo o como un conjunto ordenado, o bien como un espacio topológico, etc., de modo que las propiedades de los números reales son, por una parte, las que es posible leer en los teoremas que les son aplicables de cada una de las teorías correspondientes y, por otro lado, las que resultan de la validez simultánea de estas teorías diversas o de varias de entre ellas.
