LA AXIOMATIZACIÓN DE LA LÓGICA
Problemas y dificultades análogos a los que conocía la metamatemática se encontraban, al mismo tiempo, en el terreno de la lógica. Por lo demás, ambos órdenes de investigación se encuentran actualmente asociados íntimamente. Cuando aún la axiomática se encontraba en sus comienzos, la condición de la lógica podía parecer, debido a su situación inicial, como privilegiada. Una teoría axiomatizada retiraba su significación y su verdad usuales a los términos y postulados sobre los que se edificaba, mas para esta edificación hacía un llamado a teorías anteriores cuya verdad y sentido ya se encontraban presupuestos. Y en el punto de partida de estas teorías previas, anteriores a todas las otras, se encontraba la lógica.
Sin duda se podía afirmar de ésta que se axiomatizaba a sí misma puesto que de allí en adelante se presentaba, desde Frege y en especial en la gran síntesis de Russell y Whitehead, como un sistema deductivo en el que estaban despejados expresamente términos primeros y proposiciones primeras. Sólo que todavía no se daba aquí, si es posible decirlo, sino sólo una axiomática concreta. Los términos conservan aquí, más o menos, su acepción usual precisada sólo por las relaciones que enunciaban los postulados. Y éstos eran verdaderos axiomas, a la vez proposiciones primeras y evidencias intelectuales. El sistema tenía un sentido pleno y una verdad absoluta que se propagaban, mediante las definiciones y las demostraciones, a los términos derivados y a los teoremas. Al proponerse fundar la aritmética, y por su intermedio todo el edificio de las matemáticas sobre la lógica, el “logicismo” de Frege y de Russell tendía a algo muy distinto que proseguir simplemente el movimiento de retroceso hacia los principios; pensaba en llevarlo hasta su término, alcanzar la roca, el último fundamento. Los términos primeros de la axiomática peaniana se mantenían relativamente indeterminados, comportando una pluralidad de interpretaciones; las proposiciones primeras padecían la misma indeterminación y, al ser funciones proposicionales más que proposiciones, no constituían ni podían hacerlo el objeto de una afirmación categórica. Definiendo estos términos esencialmente variables con la ayuda de constantes lógicas, pensadas como otras tantas esencias intemporales, demostrando estos postulados, extraños hasta ahí a lo verdadero y a lo falso, recurriendo a la ayuda de los principios lógicos, concebidos como otros tantos axiomas que se imponen absolutamente al pensamiento, Russell pretendía dotar a los principios de las matemáticas, y en consecuencia a todas las deducciones subsiguientes, de un sentido absoluto y de una verdad absoluta. La matemática dejaba de ser esta ciencia “en donde no se sabe nunca de qué se habla ni si lo que se dice es verdadero” y volvía a ser categóricodeductiva al modo de la lógica de la cual extraía toda su sustancia. Pero el crepúsculo de las evidencias no tardaría en alcanzar también a la lógica. Ya la aparición, con ocasión de la teoría de los conjuntos, de antinomias de las cuales se advertía que el origen debía ser buscado en su nivel, y luego el desacuerdo profundo que se había manifestado, en su discurso, acerca de la validez de éste o aquél de sus principios, comenzaron a conmover la idea de una legislación lógica absoluta, única y universal. La nueva orientación que hacia 1920 algunos lógicos comienzan a dar a su trabajo iba, ahora, a desagregar la lógica desde su interior. Pasó con ella lo que unos decenios antes había pasado con la geometría. Del mismo modo en que ésta dejó de ser única con la aparición de las geometrías noeuclidianas después de haber sido intuitiva porque se la puso en forma axiomática, en la misma forma la lógica se pluraliza y se axiomatiza. Resultaba inevitable que la lógica, transformada en deductiva, se transformara también en el sentido de una axiomática abstracta. Las razones que invitaban a dejar de lado, en el desarrollo de un sistema, el sentido intuitivo de los términos, por temor a que pasara inadvertido en los razonamientos ulteriores, tenían valor para la lógica como para cualquier otra disciplina deductiva. En los términos de la teoría resultaba necesario no ver sino el soporte de las relaciones enunciadas en los postulados. De este modo las proposiciones de la lógica, despojadas así de su sentido propiamente lógico como lo estaban las de la geometría de su sentido propiamente geométrico—, se convierten pues en formas puras, meras tautologías como lo entenderá Wittgenstein. Esto es, enunciados que estrictamente no dicen nada acerca de lo real pero que, por esta razón, se mantienen válidos cualquiera que sea el contenido concreto que se vierta en ellos. Esta interpretación formal de la lógica favorece la aparición de lógicas noclásicas del mismo modo que, por una acción recurrente, éstas vienen a reforzarla. Porque si los principios son establecidos sólo hipotéticamente, no hay ya nada que prohíba establecer otros, modificar éste, eliminar aquél. Así se pasa de la lógica a las lógicas que uno construirá a su voluntad. A su vez, tal pluralidad de lógicas retira su privilegio a la lógica clásica, que sólo es un sistema entre otros y, al igual que ellos, una simple arquitectura formal cuya validez depende sólo de su coherencia interna. Sólo que la analogía, con respecto a la geometría, deja de ser, en este punto, esencial, dado que la lógica no dispone ya de ciencias anteriores de las que pueda hacerse uso para construirla como una axiomática forml. Ya, a medida que se remontaba la escala de las ciencias iba en aumento la dificultad de no presuponer nada en el trabajo de la axiomatización que pereneciera a la ciencia de la cual se trataba. Por ejemplo, en el caso de la aritmética la pluralidad numérica. Con la lógica, la dificultad llega a convertirse en una imposibilidad absoluta, pues necesariamente hace falta una lógica que regule las operaciones del axiomático. Seguramente es posible vigilar para poder ajustar la lógica que se está axiomatizando sobre la misma que sirve para axiomatizarla para hcer, dicho en otra forma, que la lógica operatoria se aplique sobre la lógica axiomatizada como uno de sus modelos posibles. No obstante, subsisten dudas bastante vergonzosas: primero, ¿se está seguro de poder lograr una correspondencia completa entre las dos? Ya a los primeros artífices de la lógica simbólica no se les había escapado observar que determinadas reglas de la deducción frmal no podían ser incluidas en el formalismo, como la licencia de reemplazar, dentro de una fórmula del cálculo, las variables por constantes individuales, permiso sin el cual la fórmula no tendría ningún uso, puesto que sería presupuesta necesariamente dentro del uso de toda forma simbólica que pretendiera expresarla. De este modo resultaría necesario distinguir en forma clara entre los axiomas y las reglas, entre los enunciados que integran el cálculo y aquellos que lo regulan, dominando de alguna manera estos últimos al cálculo mismo, pero siguiendo siéndole exteriores. Tal distinción naturalmente va a imponerse a toda tentativa de axiomatizar la lógica, lo cual indica que resulta imposible llevar a un término final la obra de la axiomatización, la reducción de lo intuitivo, que será reabsorbido por la lógica. Siempre subsiste algo anterior, lo intuitivo previo, pues si las proposiciones del cálculo pueden, o deben, ser vistas como únicamente formales, por el contrario, las proposiciones sobre el cálculo no pueden ser vaciadas de significado y necesariamente deben ser entendidas en su sentido intuitivo. Por otro lado, la multiplicación de las lógicas no simplifica el asunto. Con una lógica que es considerada única y absoluta, la correspondencia entre su forma axiomatizada y su uso operativo, aunque continuara siendo parcial, al menos quedaba establecida como algo perteneciente a ella misma. Esto no puede ya ocurrir en el caso de las lógicas construidas ad libitum, dado que su multiplicidad y diversidad les prohíben referirse por igual a nuestra lógica operatoria, de la cual sería laborioso aceptar que fuera igualmente maleable.
