INDEPENDENCIA. ECONOMÍA.
Con frecuencia también se exige que los diversos postulados de un mismo sistema sean independientes unos de otros. Esto es, que la modificación que se haga a uno de ellos no convierta el sistema en contradictorio. Para estar seguro de la independencia de un axioma se le prueba modificándolo sin tocar a los otros y extrayendo las consecuencias del nuevo sistema. Si permanece consistente, la independencia del postulado queda establecida y, si ocurre al contrario, que se produzca una contradicción, y si además, como es lo más común, la modificación aportada al postulado fue sustituirlo por su negación, entonces el resultado obtenido no es puramente negativo porque la cadena de proposiciones que se ha establecido da de este modo, del postulado primitivo, una demostración por el absurdo. Puede verse el lazo de unión entre una prueba de independencia y la demostración por el absurdo: el fracaso de una se convierte en el éxito de la otra. De este modo, ensayando vanamente demostrar por el absurdo el postulado de las paralelas fue que se llegó, sin querer, a elaborar las primeras geometrías noeuclidianas y demostrar así, mediante la consistencia de estas últimas, la independencia del postulado. Del mismo modo, pero deliberadamente, procedió Hilbert para establecer la independencia del postulado de Arquímedes. La independencia de los postulados de un mismo sistema no es lógicamente indispensable para que tengan validez. Sólo si esta condición no se satisface se produce una superabundancia de proposiciones primeras y se considera preferible, por economía, reducir su número al mínimo. Afirmar que dos postulados no son independientes, esto es, que uno de ellos puede ser demostrado directamente o por el absurdo a partir del otro, será, en este caso conforme al espíritu del método deductivo, producir tal demostración y hacer pasar la proposición entre los teoremas. Estas consideraciones de economía que tienen carácter estético desempeñan, no obstante, un papel considerable en la construcción de las axiomáticas. El ideal de éstas, como el de toda teoría deductiva en general, ¿no es reducir lo más posible el número de los términos primeros y de las proposiciones primeras? Se han realizado numerosos esfuerzos en este sentido, pero la simplicidad lograda en un punto debe pagarse, frecuentemente, con una complicación acrecentada sobre otros, y la elección la dictarán entonces razones estéticas o didácticas. Resulta difícil disminuir simultáneamente el número de los términos primeros, el de los axiomas y su longitud. La pobreza de la lengua básica tiene, por lo general, el efecto de hacer más largo el discurso. Además, la mayor simplicidad intrínseca de un sistema podría hacer más incómoda su utilización concreta si, dentro del dominio considerado, no corresponde ya, de manera directa a los términos del sistema, ninguna entidad. A menos que, a la inversa, el uso de la axiomática aclimate allí, poco a poco, la noción. Independientemente de toda interpretación extrínseca, razones de facilidad de exposición pueden invitar a que se hagan determinados sacrificios al ideal de la simplicidad máxima.
