INDEFINIBLES E INDEMOSTRABLES. LOS SISTEMAS EQUIVALENTES
Una de las características que definen en forma más visible que una teoría deductiva ha sido puesta en forma axiomática es, como se ha visto, que se comienza a despejar y enunciar en forma expresa y exhaustiva lo que son los indefinibles y los indemostrables de la teoía. Tal formulación demanda empero, si bien no correcciones, al menos alguna interpretación. En primer lugar, no resulta lógicamente necesario que todos los términos fundamentales y los postulados se presenten en conjunto desde el princpio de la teoría y que queden agotados antes de que se inicien las definiciones y demostraciones. En vista de que una teoría axiomatizada alcanza un buen grado de complejidad, un procedimiento semejante pondría en riesgo la exposición sin lograr ventaja lógica alguna. En tal caso se considerará con frecuencia preferible avanzar en grados sucesivos y no ir presentando las nuevas nociones fundaentales con los postulados correspondientes a medida que vaya siendo necesario, ya sea en forma aislada o en grupo, con la condición bien entendida de que todo se haga en forma muy clara. Falta decir que la mención de términos aún no definidos y de las proposiciones no demostradas, debe preceder siempre la de los términos y las proposiciones de éstos derivadas, mediante demostración o definición, y es sólo en este sentido relativo que merecen ser definidos como primeros. Del mismo modo que las palabras primero y comienzo, indefinible e indemostrable sólo deben ser entendidas en sentido relativo. Existe la tendencia creciente a evitarlas de modo que se eviten las equivocaciones. Un término no puede ser indefinible del mismo modo que una proposición no puede ser indemostrable, salvo al interior de un sistema que ha sido estructurado en una forma determinada, y de manera continua pueden constituir el término de una demostración o una definición, siempre que se modifiquen adecuadamente las bases del sistema. Tengamos siempre en cuenta el ejemplo de la geometría euclidiana: no resulta imposible de ninguna forma demostrar en ella el postulado de las paralelas. De este modo, en lugar de demostrar por medio de aquella que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos o que a toda figura se le puede hacer corresponder una figura semejante de cualquiera magnitud o quepor todo punto interior de un ángulo es posible trazar una recta que corte ambos lados, resulta imposible invertir este orden y podrá demostrarse la unicidad de la paralela tomando como postulado cualquiera de estas últimas proposiciones. Del mismo modo, la elección de los términos de la teoría que se instituirán como fundamentales queda al libre albedrío. Un cambio en la lista de los términos primeros basta para determinar el cambio correspondiente en los postulados, pues éstos enuncian relaciones entre esos términos.15 Resulta necesario entonces vigilar, al hablar de un sistema deductivo, que no se confundan dos acepciones de la voz sistema, esto es, el conjunto de las nociones y proposiciones que lo integran, ya sean primitivas o derivadas, así como cualquier organización lógica que se le dé. Un sistema, entendido como el conjunto de las nociones y proposiciones que lo integran, se presta a una multitud de representaciones axiomáticas. Por emplear una definición de Nicod, se trata de algo parecido a un poliedro, que puede descansar sobre gran variedad de bases. Tales sistemas distintos, en el sentido de organización lógica, reciben el nombre de equivalentes. De este modo, todas las reconstrucciones axiomáticas de la geometría euclidiana resultan equivalentes, pues en el fondo contienen el mismo conjunto de términos y proposiciones y sólo difieren en que éstos pueden dividirse en primtivos y derivados. De modo más general y también más preciso, dos sistemas de proposiciones son equivalentes si cualquier proposición de uno de ellos puede demostrarse sólo con la ayuda de las proposiciones del otro, y recíprocamente, dos sistemas de términos son equivalentes si cualquier término de uno puede definirse con la sola ayuda de los términos del oto.
