EL LÍMITE DE LAS DEMOSTRACIONES DE NOCONTRADICCIÓN
Sin embargo, se hace necesaria una condición: cualesquiera que sean la complejidad e inseguridad de la teoría matemática estudiada y de las fórmulas simbólicas en donde se expresa, la demostración metamatemática que descansa sobre esta teoría deberá, bajo pena de caer en un círculo vicioso o de petición de principio, no hacer sino encadenamientos deductivos muy simples y no discutidos, de forma que logren en forma irresistible la adhesión de un espíritu atento. Del mismo modo que la consideración de signos remite a la representación visual, así la demostración sobre estos signos llama a la evidencia intelectual (aunque no sea sino para entender el sentido de las reglas, juzgar si son aplicadas correctamente, etc.). Mas ya sea racional o sensible, un retorno así a la intuición sólo es legítimo cuando no se va más allá del límite de las intuiciones elementales y que nadie o sospeche. Por más reducido que sea entonces el margen de la apreciación subjetiva para juzgar la validez de una teoría, el formalismo intransigente no se considerará aún del todo satisfecho. ¿No sería posible arreglárselas de modo que los procedimientos de la demostración metamatemática se encuentren integrados de alguna forma en la misma teoría de la cual demuestra la ncontradicción, de modo que la seguridad de la teoría así demostrada recaiga sobre estos procedimientos? Se esperó llegar allí empleando el ingenioso procedimiento de la “aritmetización de la sintaxis”, obra de Gödel, que permite formular la sintaxis lógica de la aritmética al interior mismo de la aritmética, de forma que toda expresión de la lengua sintáctica pueda traducirse unívocamente en una expresión aritmética. Si, por otra parte, se ha llegado a establecer esta correspondencia de tal manera que toda proposición que traduzca así una proposición sintácticaen lenguaje aritmético pueda ser demostrable en la aritmética, entonces se habrá logrado expresar la sintaxis de la aritmética al interior de la aritmética. ¿Es posible ahora demostrar en esa lengua sintáctica la nocontradicción de la aritmética? Uno de los primeros resultados a que fue llevado Gödel por la aplicación de su procedimiento resultó precisamente el de probar la imposibilidad de tal demostración. Y, de hecho, dejó establecidos en dos teoremas de metamatemática (1931), primero que una aritmética no contradictoria no podía constituir un sistema completo, lo cual conlleva, necesariamente, enunciados indecidibles; segundo, que la afirmación de la nocontradicción del sistema figura precisamente entre estos enunciados indecidibles. Este resultado, que en apariencia es negativo, obtenido por medio de métodos formales estrictos y luego corroborados por resultados análogos acerca de problemas análogos sobre problemas conexos, tiene gran alcance. Es más que un simple episodio de la historia de la metamatemática que reanudaba, bajo una forma nueva, el viejo ideal de una demostración absoluta al proponerse constituir un formalismo susceptible de terminar volviéndose a cerrar, de alguna forma, sobre sí mismo. En la actualidad se ha puesto fin a esta esperanza. Incluso dentro de la ciencia formal por excelencia, la matemática axiomatizada, se hace necesario resignarse a la separación, que ya se creía haber borrado, entre verdad y demostrabilidad. La primera noción desborda a la segunda porque, como una de las teorías matemáticas más elementales, comporta no sólo proposiciones en la actualidad indecididas sino proposiciones esencialmente indecidibles. Y como, por otro lado, el principio del tercero excluido y el enunciado contradictorio nop son igualmente indemostrables (es decir, para las cuales puede establecerse que son igualmente indemostrables, el enunciado p y el enunciado contradictorio nop) porque, de otra parte, el principio del tercero excluido cuya validez mantienen precisamente los formalistas contra sus adversarios intuicionistas, asegura que de dos proposiciones contradictorias una es necesariamente verdadera, aun en el caso de que no podamos decir cuál, se hace necesario concluir que existe, en el interior de una matemática axiomatizada, algo verdadero y no demostrable. Ya para una lengua formal tan restringida como la aritmética, su nocontradicción no podrá ser demostrada sino mediante una apelación a medios que le sean ajenos.
