EL ALCANCE FILOSÓFICO DE LA AXIOMÁTICA
LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS
La constitución y el desarrollo del método axiomático no interesan exclusivamente al trabajo científico sino que se proyectan también sobre problemas filosóficos cuyo alcance va ensanchándose: la filosofía de las matemáticas, la filosofía de las ciencias, la filosofía del conocimiento. En primer lugar, la axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado, desde principios del siglo XX, toda la filosofía matemática, esto es, las bases mismas de esta ciencia. Este problema, que hasta entonces prácticamente no había preocupado a los matemáticos, les fue impuesto en forma brusca debido a la crisis que produjo la formulación de la teoría de los conjuntos. Esta fue elaborada por G. Cantor en el último cuarto del siglo XIX. Tras afrontar numerosas resistencias la teoría de los conjuntos apareció definitivamente hacia 1900 como la base de todo el edficio matemático. La aritmética de los números finitos, mediante la cual se reconstruyeron las demás partes de las matemáticas, podía constituirse a la vez como un caso especial y particularmente simple e intuitivo de la teoría de los conjuntos: el de los conjuntos enumerables. Y, es precisamente en este momento, cuando aparecen al interior de la teoría “antinomias” o “paradojas”, esto es, pares de teoremas contradictorios. El conjunto de todos aquellos conjuntosquenosecontienenellosmismoscomoelementos, ¿puede contenerse él mismo como elemento? Uno puede autoconvencerse con facilidad de que una respuesta afirmativa y una respuesta negativa a este mismo problema pueden ustificarse del mismo modo. Tales dificultades ofrecen en este caso una gravedad considerable. Para una teoría que ha dejado de soportarse en nociones y verdades intuitivas y que en consecuencia carece ya de otra garantíade su validez que la coherencia formal, la menor fisura basta para comprometerla, su lógica tiene la obligación absoluta de ser infalible. Desde un principio las investigaciones para encontrar una solución se han comprometido en tres direcciones. El “empirismo” de Borel y Lebesgue, posteriormente prolongado y reforzado por el “intuicionismo” de Brouwer, atribuye las dificultades al manejo ciego del instrumento lógico. Pero éste no ofrece ya garantía desde el momento en que se sale de los dominios donde ha sido largamente probado, y es por eso que extenderlo al dominio de lo transfinito resulta engañoso. En última instancia, es la intuición la que juzga la validez misma de las reglas lógicas, de modo que si se le da siempre prioridad sobre el discurso no se quedará uno expuesto ya a antinomias. En efecto, se las evita, pero ¿cuál es el precio? Si se siguen estos principios puede llevarse, en forma progresiva, a condenar partes considerables ya no sólo de la teoría de los conjuntos, sino también de buenas partes de teorías matemáticas antiguas y consagradas. Son muchos los que juzgan tal sacrificio excesivo, y la medicina como de caballo. Si se desea conservar la totalidad de las matemáticas clásicas con lo esencial de la teoría cantoriana y, al mismo tiempo, permanecer fiel a la inspiración de esta última, se intentará entonces, como lo hizo Russell, seguir la vía del “logicismo”. Por un lado se conservará el propósito de construir las matemáticas a partir exclusivamente de las nociones y leyes de la lógica. Pero en vista de que éstas han conducido a antinomias a las que se trata de prohibir, se tendrán que reforzar por otro lado las normas de la lógica en forma tal que ya no permitan que se termine allí. Infortunadamente, resulta muy difícil conciliar ambas cosas pues, para que se dé a las normas de la lógica el grado exacto de normatividad conveniente para poder excluir las antinomias exclusivamente, se ve uno obligado a establecer determinados axiomas cuyo carácter extralógico apenas resulta discutible. Queda una tercera vía por la cual Zermelo35 intentará salir de este hoyo: la de la reconstrucción axiomática, solución que difiere de la precedente en que, si bien demanda siempre de axiomas que no permitan la producción de antinomias, no les impone que se les tome sólo del material lógico. No obstante, las condiciones que exige el establecimiento de una axiomática tal difieren mucho de las condiciones de las axiomáticas de Peano y Hilbert, en las que se iba sólo de las consecuencias a los principios. Se partía de teorías ya bien probadas, como la aritmética y la geometría clásicas, cuya consistencia nadie podía poner seriamente en duda y, en el momento en que los principios que se les asignaba les estaban adaptados con exactitud, no había que pedirles ya nada más, no resultaba ya indispensable que fueran evidentes y ciertos por ellos mismos, pues de antemano se estaba ya seguro de que no caían en contradicciones. Por el contrario, en este caso la existencia de antinomias demuestra que se trabaja en una zona de inseguridad, incluso cuando los axiomas sean escogidos de tal manera que eviten las antinomias conocidas. Pero, ¿qué garantiza que en otra parte no surgirán otras análogas? No resulta suficiente, pues, producir un sistema de axiomas que permita demostrar precisamente la parte aceptable de la teoría de los conjuntos; resulta necesario que los axiomas inspiren por sí mismos absoluta confianza. A la prioridad lógica deben adjuntarse la evidencia psicológica y ser a la vez fundamentos y principios. Veremos que uno de los axiomas de Zermelo se encontraba bien lejos de satisfacer esta condición o, por decirlo en forma más precisa, el problema de saber si la satisfacía o no dividió en dos campos a los matemáticos: si para unos el axioma denominado de “la selección” resultaba del todo evidente, para otros no era sino una fórmula vacía, un armado de palabras que gramaticalmente guardaba corrección pero que estaba desprovisto de sentido. Y las proposiciones equivalentes en que se hubiera podido pensar para sustituirlo, como la relativa a la posibilidad del “buen orden”, sufrían el mismo defecto. La axiomática ingenua, confiada en el sentimiento de evidencia intelectual para justificar la selección de los axiomas se encontraba en un callejón sn salida. Uno de los objetivos principales de la metamatemática de Hilbert es evitar el callejón sin salida, y salir de él sustituyendo mediante el razonamiento la intuición desfalleciente. La formalización de la axiomática requiere que pueda ser establecido, mediante la vía demostrativa y sin necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es congruente o no. Si esta demostración puede dárnosla favorablemente una axiomática de la teoría de los conjuntos, queda resuelto el problema del fundamento. Y debería estarlo, aun a los ojos de un intuicionista —para quien la nocontradicción es condición necesaria, aunque no suficiente, de la existencia matemática— siempre que la demostración satisfaga la exigencia de construcción en un número finito de etapas, lo cual según Hilbert es el criterio verdadero; por eso él, preocupado por no renovar controversias estériles, impuso condiciones muy severas a los procedimientos de comprobación. Las esperanzas que los “formalistas” pusieron en este método han sido, como se recuerda, frustradas en forma parcial. Especialmente, los teoremas de Gödel mostraron que la nocontradicción de los sistemas de los que se trataba no podía ser probada mediante una formalización que se mantuviera dentro de estos sistemas. Por su lado, la paradoja de Skolem contrapone a la axiomatización de la teoría de los conjuntos una dificultad esencial, pues resulta de ella que el tratamiento axiomático hace desvanecer ahí la distinción de las potencias diversas. Sin embargo, esta última restricción sólo concierne en forma directa a la teoría de los conjuntos y, por otro lado, el marco dentro del cual se encerró Hilbert, voluntariamente, permitía que fuera ensanchado un poco, sin por eso traspasar los límites que se asigna al intuicionismo, de suerte que las prohibiciones de Gödel se atenúan. En tales condiciones Gentzen, en 1937, llegó a demostrar la nocontradicción de la teoría de los números apelando exclusivamente a un único principio exterior a la teoría, y mostrando que éste no sobrepasaba los medios que se conceden al intuicionismo. Tal resultado es muy importante ya que la nocontradicción de numerosas teorías tenía su apoyo en la aritmética, que hasta allí había sido simplemente postulada. Pese al hecho de que el formalismo axiomático no ha resuelto definitivamente el problema del fundamento de las matemáticas, resulta que tanto para él mismo como para las reacciones que suscitó, lo ha hecho avanzar considerablemente y, por otro lado, ha disminuido en forma notable las presiones sobre las doctrinas que inicialmente se le oponían. En la actualidad prácticamente se han desvanecido las diferencias que existían entre logicismo y axiomatismo, al punto que ambas tendencias se integran, como puede verse en algunos autores, Quine por ejemplo. La multiplicidad de las lógicas, que son tratadas en delante de acuerdo con los métodos de la axiomática formalizada, prácticamente no permiten ya dar a sus nociones de base un sentido absoluto, y el problema de saber dónde termina la lógica y comienzan las matemáticas ha perdido buena parte de su sentido. Las diversidades existentes a principios del siglo XX pueden hoy resumirse en una gran alternativa, ya sea que se conceda prioridad a la lógica o a la intuición. Incluso ambas partes se han aproximado lo suficiente como para poder comprenderse y trabajar mancomunadamente. Al llevar los problemas al plano de las construcciones simbólicas, el formalismo hilbertiano se expresa en un lenguaje accesible al intuicionista, en tanto que éste entró decididamente, siguiendo a Heyting (1930), en la vía de la axiomática formal. Bien puede rechazarse el formalismo axiomático, pero la axiomatización y la formalización han llegado a ser actualmente, como decía Cavaillès, uniformes obligatorios.
