DEL RAZONAMIENTO AL CÁLCULO
Se piensa que resultaría prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si se continuara expresándose en el lenguae habitual, con su falta de precisión y sus numerosas irregularidades. Es de hecho, por esto, que la formalización supone la simbolización. Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no proposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema. Estas reglas, por supuesto, dejan por completo a un lado las interpretaciones eventuales de términos o de fórmulas, entre ellos los de la lógica. Sólo toman en cuenta la estructura formal de las expresiones, la sucesión de dibujos pequeños que se leen de izquierda a derecha y línea tras línea sobre la hoja. Más propiamente constituyen prescripciones para hacer un cálculo. Pueden compararse a las reglas del juego de ajedrez que nos muestran cómo deben colocarse al principio las piezas y luego cuáls son los movimientos permitidos de cada una de ellas. Entonces, una demostración no hará un llamado a nuestro sentimiento espontáneo de la evidencia de determinados encadenamientos lógicos, sino que se ocupará de transformar, en grados sucesivos y sin saltar ninguna etapa, una o varias fórmulas escritas con anterioridad como axiomas o teoremas, haciendo mención, en el caso de cada una de estas transformaciones elementales, del número de la regla que la autoriza hasta que se llegue finalmente, línea tras línea, a la fórmula que se busca. Debido a un cambio brusco de actitud, comparable al que afecta la conciencia ante una figura ambigua, el pensamiento, en lugar de atravesar los símbolos para apuntar por su intermediario a las cosas simbolizadas, ahora se detiene en los símbolos mismos, dejando para después su posible interpretación y retirándoles por el momento su función de símbolos con el fin de tomarlos como objetos últimos. Las exigencias de rigor habían hecho que se descartara como sospechosa a la intuición sensible, en especial la representación de figuras en el espacio, para confiar sólo en la evidencia de los encadenamientos lógicos. Actualmente, las incertidumbres de la intuición intelectual conducen a repudiarla y a sustituir el razonamiento pensado, o incluso hablado, por un cálculo hecho sobre signos expuestos a la mirada sobre una hoja de papel. Sólo regresando de esta forma a la intuición visual no recaemos en el nivel primero. En primer lugar se ha logrado un progreso en el sentido de lo abstracto y de lo general al recurrir a la posibilidad de hacer na interpretación posterior de los símbolos, o mejor dicho, de una multitud de interpretaciones diversas. Pero también se ha alcanzado un progreso considerable respecto a la seguridad y la objetividad. Si los signos constituyen un número restringido, si su figura no se presta a la confusión y si, por último, se instituye en forma expresa una legislación coherente y sin escapatorias para su manejo, entonces no es ya posible ninguna impugnación seria, como tampoco ocurriría en un juego bien organizado: tal agrupamiento de signos está prohibido o no lo está, aquella transformación de una fórmula está prohibida o no lo está. Como escribe Cavaillès: “Un razonamiento escrito no puede engañar, pues en su diseño aparecerían las figuras excluidas.“25 En este caso, “el error salta a los ojos” como un error de cálculo en una operación aritmética, un movimiento equivocado en una partida de ajedrez, un barbarismo o un solecismo en un idioma en el cual el lenguaje esté bien reglamentado. De este modo el cálculo formal, como ya lo anhelaba Leibniz, sustituye con ventaja al razonamiento.
